第436話｜時系列モデルで将来予測を可能にする「定常性」と言う概念

時系列データを分析したり時系列予測をする上で、私たちはしばしば「定常性」という概念に直面します。

定常性とは、簡単に言えば、時系列データの統計的性質が時間によって変化しないという性質です。

なぜこの性質が重要かというと、多くの時系列モデルや予測手法は、データが定常であることを前提としているからです。

時系列分析の世界では、データが非定常である場合、そのままでは従来の統計手法が適用できず、予測の精度も低下してしまいます。

株価の推移、気温の変動、企業の売上高など、私たちが日常的に扱う多くの時系列データは本来非定常です。

そのため、データを定常化するテクニックを身につけることは、時系列分析の基礎として欠かせないスキルとなります。

今回は、定常性の概念、Wold（ウォールド）分解定理、非定常成分、定常化手法、ARIMA（自己回帰和分移動平均）モデルなどの予測モデルへどうつなげていくかを、できるだけ簡単かつ簡易的にお話しします。

定常性とは何か

　定常性の定義

時系列分析において「定常性」とは、時系列データの統計的性質が時間の経過によって変化しないという性質を指します。

厳密には「弱定常性（weak stationarity）」と「強定常性（strict stationarity）」の2種類がありますが、実践的な時系列分析では通常、弱定常性を指して「定常」と呼びます。

弱定常過程は、次の表に示す3つの条件を満たす時系列を指します。

条件	説明
平均が一定	時間によらず、常に同じ期待値を持つ
分散が一定	時間によらず、データのばらつきが一定
自己共分散が時間差のみに依存	時系列データの2点間の共分散が、その時点間の距離（ラグ）のみに依存し、具体的な時点に依存しない

これらの条件は、時系列が「安定した」状態であることを意味します。

なぜ定常性が重要かというと、多くの統計的手法や時系列モデルは定常過程を前提としているからです。

　Wold（ウォールド）分解定理

定常時系列の理論的基礎として特に重要なのが「Wold（ウォールド）分解定理」です。

この定理は、任意の定常過程が以下の2つの部分に分解できることを示しています。

予測可能な部分：過去の情報から線形的に予測できる成分
予測不可能な部分：白色雑音（ホワイトノイズ）に相当する純粋にランダムな成分

数学的には、定常過程 $Y_t$ が以下のように表現できることを示しています。

$Y_{t} = \sum_{j = 0}^{\infty} ψ_{j} ε_{t - j} + η_{t}$

ここで、 $\varepsilon_t$ は白色雑音、 $\psi_j$ は係数（ $\psi_0 = 1$ ）、 $\eta_t$ は過去の雑音と無相関な確定的成分です。

この定理は非常に重要で、ARMAモデル（自己回帰移動平均モデル）の理論的基礎となっています。

ARMAモデルは本質的に、Wold（ウォールド）分解定理が示す線形構造を有限次元で近似したものと考えることができます。

簡単に言えば、定常時系列は過去の情報に基づく予測可能な部分と、新たなショックや予測不可能なランダム変動から成り立っていると理解できます。

このような性質があるからこそ、時系列モデルによる将来予測が可能になるのです。

定常かどうかを判断する方法

時系列データが定常かどうかを判断するには、定性的な方法と定量的な方法があります。

　グラフによる定性的な判断

グラフを使った視覚的な判断は、定常性の初期評価として非常に有用です。

主な方法を以下の表にまとめました。

グラフ分析手法	判断のポイント	定常過程の特徴	非定常過程の特徴
時系列プロット	平均の安定性分散の一定性明確なパターンの有無	一定の範囲内で変動特定の傾向を示さない平均線の周りをランダムに変動	上昇/下降トレンドの存在分散の拡大/縮小周期的なパターンの存在
自己相関関数（ACF）	減衰の速さ有意な相関のラグ数	比較的速やかに減衰指数関数的または振動しながら減衰	緩やかに減衰多くのラグで有意な相関トレンドがある場合は特に遅い減衰
偏自己相関関数（PACF）	有意なラグの特定切断パターン	AR(p)過程では、p次のラグで急激に切断 MA過程では徐々に減衰	明確な構造が識別しにくい多くのラグで有意な値を示す

これらのグラフ分析ツールを併用することで、時系列データの特性をより包括的に理解できます。

例えば、ランダムウォークのような時系列のACFは非常にゆっくりと減衰します。

一方、定常なAR(1)プロセス（1期前のデータのみから若干の影響を受ける）のACFは指数関数的に減衰し、PACFはラグ1で急激に切断されます。

実務では、まず時系列プロットで全体像を把握し、次にACF/PACFでデータの相関構造を分析するという、段階的アプローチで実施されることが多いです。

ただし、グラフによる判断は主観的な側面があるため、次に説明する統計的検定と併用することで、より信頼性の高い判断ができます。

　統計検定による定量的な判断

より厳密に定常性を評価するには、統計的検定が有効です。幾つかの手法が開発されています。

以下は主な手法です。

検定手法	帰無仮説	対立仮説	判断基準	特徴と留意点
拡張ディッキー・フラー (ADF)検定	単位根が存在する (非定常)	単位根が存在しない (定常)	p値 < 0.05 で定常と判断	最も広く使用される単位根検定トレンドあり/なし、ドリフトあり/なしの選択可能自己相関の構造に敏感
フィリップス・ペロン (PP)検定	単位根が存在する (非定常)	単位根が存在しない (定常)	p値 < 0.05 で定常と判断	ADF検定と同様の仮説構造不均一分散や自己相関に対してより頑健時系列に構造変化がある場合に有効
KPSS検定	データは定常である	データは非定常である	p値 > 0.05 で定常と判断	ADF/PP検定と逆の仮説構造レベル定常性とトレンド定常性の両方を検定可能他の検定と併用すると有効

これらの検定は相互補完的な関係にあり、単独ではなく複数の検定を組み合わせて使用することが推奨されます。

検定結果の組み合わせ	判断	解釈と次のステップ
ADF検定：有意（p < 0.05） KPSS検定：非有意（p > 0.05）	データは定常	そのままARMAモデルを適用可能モデル選択に進む
ADF検定：非有意 KPSS検定：有意	データは非定常	差分または変換による定常化が必要トレンドや季節性の特定と除去
両方とも有意	結果が矛盾	構造変化の可能性を検討部分サンプルでの再検定より頑健な検定手法の適用
両方とも非有意	結果が矛盾	検出力の問題の可能性サンプルサイズの拡大を検討グラフ分析に基づく判断

検定結果が矛盾する場合は、データ特性をより詳細に分析する必要があります。

例えば、構造変化がある時系列では単一の検定結果が誤解を招く可能性があります。

また、検定の検出力は標本サイズに大きく依存するため、小サンプルでの結果解釈には特に注意が必要です。

　定常性の評価プロセスのまとめ

ここまでの内容をもとに、定常性の評価プロセスと判断基準を整理すると、次のようになります。

プロセスのステップ	内容と方法	注意点
グラフによる初期評価	時系列プロットで全体的なパターンを確認 ACF/PACFプロットで相関構造を分析	視覚的判断は主観的要素を含むため、統計的検定で補完することが重要
統計的検定の実施	ADF検定を実施（帰無仮説：非定常） KPSS検定を実施（帰無仮説：定常）	検定の前提条件や特性を考慮し、適切な検定仕様（ラグ次数など）を選択する
矛盾する結果の解釈	検定結果が一致しない場合は、データの特性を考慮して追加の分析を実施	検定の検出力やサンプルサイズの影響を考慮する必要がある

実務では、統計的検定の結果に過度に依存するのではなく、グラフ分析と統計的検定の結果を総合的に判断し、モデルの目的（予測か説明か）に応じて適切な定常化アプローチを選択することが重要です。

非定常成分の具体例とモデル化

実際の時系列データでは、多くの場合、定常性を妨げる要素が含まれています。

ここでは、代表的な非定常成分とそのモデル化について解説します。

　トレンドがあるケース

トレンドとは、時間の経過とともにデータの平均水準が一定方向に変化する傾向を指します。

トレンドがある場合、時系列の平均値は時間とともに変化するため、定常性の条件に反します。

トレンドには主に以下の表に示すようなタイプがあります。

トレンドの種類	サブタイプ	数学的表現	説明
確定的トレンド	線形トレンド	$Y_t = \alpha + \beta t + \varepsilon_t$	時間 $t$ に対して直線的に変化するトレンド
確定的トレンド	二次トレンド	$Y_t = \alpha + \beta_1 t + \beta_2 t^2 + \varepsilon_t$	時間 $t$ に対して曲線的（二次関数）に変化するトレンド
確率的トレンド	ランダムウォーク	$Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_t$	前期の値にランダムなショックが加わる形で変動
	ドリフト付きランダムウォーク	$Y_t = \delta + Y_{t-1} + \varepsilon_t$	ランダムウォークに一定のドリフト $\delta$ が加わるモデル
	ローカルレベルモデル	$Y_t = \mu_t + \varepsilon_t$ $\mu_t = \mu_{t-1} + \eta_t$	観測不可能な状態 $\mu_t$ が確率的に変動するモデル

確定的トレンドと確率的トレンドの大きな違いは、ショックの永続性にあります。

確定的トレンドでは、ショック $\varepsilon_t$ は一時的な影響しか与えませんが、確率的トレンド（特にランダムウォーク）では、ショックが永続的に蓄積されていきます。

この違いは、トレンド除去の方法選択に重要な影響を与えます。

経済指標や株価など多くの実際のデータには、このようなトレンド成分が含まれています。

例えば、GDPや人口の長期的な増加傾向は確定的トレンドとして、株価の変動はランダムウォークとしてモデル化されることがあります。

　季節性があるケース

季節性とは、一定の周期で繰り返し現れるパターンのことです。

例えば、小売業の売上高には年末に向けて増加し、年明けに減少するという季節パターンが見られることがよくあります。

季節性の主な特徴とモデル化方法は以下の通りです。

モデルタイプ	説明	数学的表現/特徴
確定的季節性	季節ダミー変数を用いた回帰モデル	$Y_t = \sum_{j=1}^{s} \delta_j D_{jt} + \varepsilon_t$ （ $D_{jt}$ は季節ダミー変数）
確率的季節性	季節ARIMAモデル（SARIMA）による表現	季節周期 $s$ に対応した差分と自己回帰・移動平均項を含む

確定的季節性と確率的季節性の選択は、季節パターンの安定性に依存します。

季節パターンが時間を通じて安定している場合は確定的季節性モデルが適しており、季節パターン自体が変化する場合は確率的季節性モデルが有効です。

例えば、月次データの季節性は以下のようにモデル化できます。

$Y_{t} = \sum_{j = 1}^{12} δ_{j} D_{j t} + ε_{t}$

ここで $D_{jt}$ は月を表すダミー変数で、 $j$ 月であれば1、そうでなければ0の値を取ります。

　主な定常化手法（非定常を定常にする手法）

データに含まれるトレンドや季節性などの非定常成分を扱い、非定常データから定常データに変換するための、非定常化手法が幾つかあります。

主な手法をまとめると、以下となります。

非定常成分	手法	内容	数学的表現/特徴
トレンド除去	差分法	連続する観測値の差を取る	1階差分： $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$
トレンド除去	回帰法	時間 $t$ に対する回帰モデルを当てはめ、残差を抽出	$Y_t = f(t) + \varepsilon_t$ （ $f(t)$ はトレンド関数）
季節調整	季節差分	前年同期との差を取る	季節差分： $\Delta_s Y_t = Y_t - Y_{t-s}$ （ $s$ は季節周期）
	季節ダミー変数	季節を表すダミー変数を用いた回帰モデル	各季節期間に対応するダミー変数でモデル化
	季節分解法	専用の分解アルゴリズムを用いる	X-12-ARIMA、STLなど体系的な分解手法

これらの手法は単独でも使用できますが、多くの実際のデータでは複数の非定常成分（トレンドと季節性の両方）が存在するため、複数の手法を組み合わせて使用することが一般的です。

特に差分法は実装が容易で広く使われており、差分の次数を表すパラメータ $d$ はARIMAモデルの重要なパラメータとなっています。

データの分散が一定でない場合（不均一分散）や、非線形の関係が見られる場合には、以下の表に示す変換法が効果的です。

変換法	数学的表現	適用対象	効果
対数変換	$\log(Y_t)$	指数的に成長するデータ乗法的な季節性を持つデータ	分散の安定化乗法的季節性を加法的に変換
平方根変換	$\sqrt{Y_t}$	ポアソン分布に従うカウントデータ分散が平均に比例するデータ	分散の安定化正規性の向上
ボックス・コックス変換	$Y_t^{(\lambda)} = \frac{Y_t^\lambda - 1}{\lambda} \quad (\lambda \neq 0)$ $\log(Y_t) \quad (\lambda = 0)$	様々な非線形パターンを持つデータ最適なλを推定して適用	柔軟な分散安定化正規性の向上線形関係への近似

データから非定常と思われる成分を抽出するフィルタリング手法を以下の表にまとめました。

フィルター名	主な機能	特徴と適用場面
移動平均フィルター	短期的な変動を平滑化	計算が単純で直感的に理解しやすいノイズを除去し、中長期的なトレンドを強調窓幅（期間）の選択により平滑化の程度を調整可能端点では観測値が少なくなるため、エンドポイント問題に注意
ホドリック・プレスコットフィルター(HP)	トレンド成分と循環成分を分離	マクロ経済分析で広く使用される平滑化パラメータ λ（ラムダ）でトレンドの滑らかさを調整四半期データでは λ=1600 が標準的（ただし周波数によって推奨値は異なる）トレンドがなだらかに変化すると仮定するため、大きな構造変化や急激な変動の捉え方に限界がある端点付近の推定値が不安定になるエンドポイント問題が存在
バンドパスフィルター(BP)	特定の周期（周波数帯）の変動のみを抽出	景気循環分析などで、特定周期（例：2〜8年周期）の変動を取り出す際に有効バンド（周波数帯）の上下限を指定して抽出したい周期成分を取り出すバンド外の周波数成分は除去されるため、短期ノイズや長期トレンドを分離しやすい端点の処理方法がフィルターによって異なり、外挿や推定の仕方により結果が変わる点に注意
STL分解 (Seasonal and Trend decomposition using Loess)	トレンド成分・季節成分・残差成分への分解	ローカル多項式回帰（LOESS）を用いて、トレンドと季節性を同時に推定季節性が時間とともに変化する場合でも比較的柔軟に対応季節周期が明確なデータ（例：月次・週次・日次など）の分解によく使われる主要な統計ソフトやプログラミング言語（R, Pythonなど）で実装が容易季節周期が複数ある場合や極端な外れ値を含む場合など、パラメータ設定に工夫が必要
Baxter-Kingフィルター(BK)	指定した周期帯域の景気循環を抽出	HPフィルターの欠点を補うバンドパス型フィルターの一種低周波/高周波成分を除去し、中間的な周期成分のみを取り出す景気循環（ビジネスサイクル）分析で用いられることが多いトレンドの形状をあらかじめ仮定しない利点がある一方、端点問題は依然として残る
Christiano-Fitzgeraldフィルター(CF)	一般化されたバンドパスフィルター	BKフィルターをさらに改良した手法サンプル全体にわたって最適な（最小二乗誤差の）バンドパス近似を行うフィルターの次数や端点処理の選択が柔軟経済時系列の周期的変動分析において有用だが、パラメータ設定や端点付近の推定に留意
LOESSフィルター (ローカル多項式回帰)	局所的な平滑化によるトレンド抽出やノイズ除去	移動平均よりも柔軟に曲線をフィットできるローカル回帰アプローチウィンドウ幅（スパン）内で多項式回帰を行うため、局所的なパターンを捉えやすい季節性を除去する「STL分解」にも応用されている非常に大きなデータセットやきわめて細かい分析には計算コストが課題になる場合も
カルマンフィルター (状態空間モデル)	時間変化するトレンド・季節性・レベルを動的に推定	観測ノイズがある状態空間モデルの枠組みで、トレンドや季節成分を動的に更新不規則な変動や構造変化が徐々に起きるようなケースに有効欠損値や突発的な外れ値にも比較的頑健実装には状態空間モデルの知識が必要だが、経済時系列や制御工学、信号処理など幅広く使われる
EMD (Empirical Mode Decomposition)	データ駆動型で複数の固有モードを順次に分解	周波数や周期を事前に仮定せず、「振動モード」をデータから自動抽出気象データや生体信号など、周期がはっきり決まっていない時系列の解析に有効分解後に得られる「固有モード関数(IMF)」の解釈がやや難しく、実務応用には知識が必要ソフトウェアによっては計算が重くなる可能性あり
ウェーブレット変換	周波数×時間軸の両面から局所的な特徴を抽出	時間領域と周波数領域を同時に扱えるため、急激な変化点や非定常性の強い信号を分析しやすい一定のスケール（周期）ごとの成分を取り出せる金融データや医療・物理系の信号処理、画像処理など多方面で利用実装や結果の解釈はやや高度で、適切なウェーブレット基底や分解レベルの選択が必要

以下の一覧表では、代表的なフィルタリング手法について、「どのような課題や目的に対してどれを選べばよいか」という視点で整理しました。

目的・課題	主な推奨フィルター	特徴・注意点
トレンドと周期成分を明確に分離したい例：長期的な経済トレンドと循環成分を同時に把握したい	HPフィルター STL分解 – 状態空間モデル(カルマンフィルターなど)	HP フィルターはトレンドの滑らかさをλパラメータで調整できる STL分解は季節性が変化していくデータにも柔軟に対応可能カルマンフィルターを用いた状態空間モデルは、時間変化するトレンドや季節成分を動的に推定できるいずれもエンドポイント問題が生じるので、末端近くの推定に注意
変動の周波数帯を具体的に指定して抽出したい例：2〜8年周期の景気循環だけを抽出して分析したい	バンドパス系のフィルター（Baxter-King, Christiano-Fitzgerald など）	あらかじめ設定した周波数帯（周期）に応じて変動成分を抽出景気循環分析などで特定の周期成分のみを取り出したい場合に有効周波数設定を誤ると、本来のトレンドや重要な変動を消してしまう可能性があるこちらもエンドポイント付近のデータ処理に留意が必要
周期・周波数が固定的でない、あるいは明確でないケース例：季節性や周期性が非線形的・非定常的に変化するデータ	EMD（Empirical Mode Decomposition）カルマンフィルターウェーブレット変換	EMD は周期を事前に仮定せずに複数の振動モードをデータから抽出カルマンフィルターはトレンドや季節性が徐々に変化するような場合も動的に推定ウェーブレット変換は時間と周波数を同時に扱い、変化点や非定常性を捉えやすいいずれも実装や結果の解釈が難しく、計算コストも大きい傾向
季節成分の変化が大きい、または外れ値・構造変化が頻繁に起こる例：外れ値の多い小売データ、突発イベントがある時系列	STL分解状態空間モデル（ローカルレベルモデルなど）	STL分解は外れ値にある程度強いが、極端に多い場合はパラメータ設定に工夫が必要状態空間モデルを使えば、構造変化点を動的に取り込みやすいダミー変数や切り替えモデルを併用することでより柔軟な変動をキャッチできる場合もある
エンドポイント問題（端点付近の推定が不安定）への対策を重視したい例：将来予測にも活用したいので端点推定精度を確保したい	どのフィルターも注意が必要状態空間モデルの場合、適切な初期値設定や外部情報の併用	ほぼすべてのフィルタリング手法で、サンプルの始点・終点付近では推定が不安定になりやすい末端の補外（外挿）やパディングを工夫するアプローチもあるが、安易にすると逆にバイアスが増えることがある状態空間モデルでは事後分布の更新やスムージング手順がある程度端点問題を緩和するが、初期値の与え方に敏感

　定常化後の注意点

定常化は時系列データ分析の重要なステップですが、いくつかの注意点があります。

注意点カテゴリ	具体的な課題	対応策と考慮事項
過度な差分による情報損失	差分をとるたびに1つの観測値が失われる過剰差分による情報の損失モデルの複雑化と解釈困難性	必要最小限の差分次数にとどめる単位根検定で適切な差分次数を決定 2階以上の差分は特に慎重に適用
モデル解釈への影響	差分モデルは「変化率」のモデル化となる原系列の水準に関する情報の喪失予測値を原系列に戻す際の誤差蓄積	差分の経済的/実務的意味を考慮レベルと変化率の両面から解釈長期予測では誤差蓄積に注意
定常化手法の選択	データ特性に応じた適切な手法選択の難しさ変換後の分布特性の変化原系列からの情報の歪み	複数の手法を比較検討変換後の正規性や線形性を確認目的（予測/説明）に合った手法選択

適切な定常化を行った後は、次に説明するARMAやARIMAといったモデルを適用したりします。

ARIMA系モデルとは

定常化されたデータに対して、時系列モデルを適用していきます。ここでは特に、ARIMA系モデルについて説明します。

　ARIMA・SARIMAモデルの概要

ARIMA（自己回帰和分移動平均）モデルは、非定常時系列データを扱うための強力な考え方やモデリングなどのフレームワークです。

　　ARIMAモデルの構成要素

ARIMA(p,d,q)モデルは以下の表に示す3つのパラメータで特徴づけられます。

パラメータ	意味	数学的表現	役割
p	自己回帰（AR）項の次数	$Y_t = c + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + ... + \phi_p Y_{t-p} + \varepsilon_t$	過去の値がどの程度現在の値に影響するかを表現
d	差分の次数	$\Delta^d Y_t$ が定常になる	データを定常化するために必要な差分の回数を表現（例： $d=1$ なら1階差分 $\Delta Y_t$ が定常）
q	移動平均（MA）項の次数	$Y_t = c + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q}$	過去のショック（誤差項）の影響の持続性を表現

ARIMAモデルの強みは、これら3つのパラメータを組み合わせることで、様々なタイプの時系列データに柔軟に対応できる点にあります。

実際のモデル構築では、まず適切な $d$ の値を決定して定常化を行い、その後ACF/PACFプロットなどを用いて $p$ と $q$ の値を特定するという段階的なアプローチが一般的です。

つまり、ARIMAモデルは「定常部分のARMAモデル」と「差分操作による定常化」を組み合わせたものと言えます。

　　SARIMAモデルと季節性

季節性を持つデータには、SARIMA（季節性ARIMA）モデルが適しています。

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) $_s$ モデルでは、通常のARIMAパラメータ(p,d,q)に加えて、季節性に関するパラメータ(P,D,Q) $_s$ が追加されます：

P: 季節自己回帰項の次数
D: 季節差分の次数
Q: 季節移動平均項の次数
s: 季節の周期（月次データなら12、四半期データなら4など）

このモデルは、短期的な依存性（通常のARIMA部分）と季節的な依存性（季節ARIMA部分）の両方を捉えることができます。

　Wold（ウォールド）分解定理との関連性

Wold（ウォールド）分解定理は、ARIMA系モデルの理論的基礎となっています。

ARMAモデルは、Wold（ウォールド）分解定理が示す線形構造を有限次元で近似したものです。

分解要素	モデル	説明
予測可能な部分	ARモデル	過去の観測値の線形結合として、現在の値を予測する
予測不可能な部分（ショック）	MAモデル	過去のショック（予測誤差）が、現在の値に与える影響を表現する

ARIMA(p,d,q)モデルでは、原系列に $d$ 階の差分を適用して得られた定常過程に対して、ARMA(p,q)モデルを当てはめます。

これは、非定常成分を除去した後の「コア」となる定常過程をモデル化する方法と言えます。

　モデル選択と診断

適切なARIMAモデルを選択するためのプロセスを簡単に説明します。

　　モデル選択のステップ

ARIMAモデルの構築と選択は、以下の表に示す段階的なプロセスで行われます：

ステップ	内容	方法	評価基準
差分次数（d）の決定	定常化に必要な差分次数を特定	単位根検定（ADF、PP、KPSS）時系列プロットとACFの視覚的分析	検定の有意性定常性の視覚的確認
AR次数（p）とMA次数（q）の特定	定常化されたデータに最適なARMA構造を特定	ACF/PACFプロットのパターン分析情報量規準による比較	AIC： $AIC = -2\log(L) + 2k$ BIC： $BIC = -2\log(L) + k\log(n)$ $L$ は最大尤度、 $k$ はパラメータ数、 $n$ はサンプルサイズ
パラメータ推定	モデルの係数を推定	最尤法条件付き最小二乗法	パラメータの統計的有意性信頼区間の評価

ステップ

内容

方法

評価基準

差分次数（d）の決定

定常化に必要な差分次数を特定

単位根検定（ADF、PP、KPSS）
時系列プロットとACFの視覚的分析

検定の有意性
定常性の視覚的確認

AR次数（p）とMA次数（q）の特定

定常化されたデータに最適なARMA構造を特定

ACF/PACFプロットのパターン分析
情報量規準による比較

AIC： $AIC = -2\log(L) + 2k$
BIC： $BIC = -2\log(L) + k\log(n)$

$L$ は最大尤度、 $k$ はパラメータ数、 $n$ はサンプルサイズ

パラメータ推定

モデルの係数を推定

最尤法
条件付き最小二乗法

パラメータの統計的有意性
信頼区間の評価

季節性のあるデータを扱う場合は、季節差分次数（D）と季節AR/MA次数（P, Q）も同様のプロセスで決定します。

情報量規準（AICやBIC）は、モデルの適合度とパラメータ数（複雑さ）のバランスを評価するための重要な指標です。

一般にBICはAICよりもより単純なモデルを選択する傾向があり、大規模サンプルで一貫性のある結果が得られますが、小サンプルではAICの方が予測精度の観点から優れていることがあります。

実務では、両方の規準を計算し、モデルの用途（予測か説明か）に応じて適切に判断するのがいいでしょう。

　　モデル診断

ARIMAモデルによる適合が上手くいったかの評価するための診断項目を以下の表にまとめました。

	診断手法	評価基準	目的
残差分析	残差プロットの視覚的検査残差のACF/PACFプロット Ljung-Box検定正規性検定（シャピロ-ウィルク、JB検定）	残差が白色雑音であること自己相関がないこと等分散性正規分布に従うこと	モデルが時系列の構造を適切に捉えているかを確認
予測精度の評価	訓練データとテストデータの分割アウトオブサンプル予測時系列クロスバリデーション	MSE（平均二乗誤差） MAE（平均絶対誤差） MAPE（平均絶対パーセント誤差） RMSE（二乗平均平方根誤差）	モデルの予測能力を評価し、最適なモデルを選択

残差分析は特に重要で、残差が白色雑音（ランダムで自己相関がない）でなければ、モデルは時系列の構造を完全に捉えきれていないことを意味します。

Ljung-Box検定のp値が有意水準（通常0.05）を上回っていれば、残差に自己相関がないという帰無仮説が棄却されず、モデルが適切であると判断できます。

予測精度の評価では、複数のモデルを比較して最も精度の高いモデルを選択します。

特に時系列データでは、単純な訓練/テスト分割よりも、時間の経過を考慮した時系列クロスバリデーションがいいでしょう。

これにより、モデルの頑健性と将来データに対する一般化能力をより適切に評価できます。

適切なモデルが選択できたら、そのモデルを用いて将来予測を行うことができます。

ARIMAモデルは、短期・中期の予測において特に有効です。

ちょっと上を目指したい方へ

時系列分析を、さらっと学ぶための参考資料を以下の表にまとめました。

資料カテゴリ	著者・タイトル	特徴と推奨ポイント
専門書・教科書	Box, G.E.P., Jenkins, G.M., Reinsel, G.C., & Ljung, G.M. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Wiley. PDF link	時系列分析の古典的かつ包括的な教科書 Box-Jenkinsアプローチの原典 ARIMAモデルの理論と実践を詳細に解説
	Brockwell, P.J., & Davis, R.A. (2016). Introduction to Time Series and Forecasting. Springer. PDF link	理論と実践のバランスが良い中級レベルの教科書統計的基礎から応用までカバー R言語による実装例も含む
	沖本竜義 (2010). 経済・ファイナンスデータの計量時系列分析. 朝倉書店.	日本語で書かれた詳細な時系列分析の教科書経済・金融データ分析に特化実証分析の手法が豊富に紹介されている
オンラインリソース	Rob J. Hyndman and George Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice. https://otexts.com/fpp3/	無料でアクセス可能な包括的なオンライン教科書実践的アプローチと豊富な例示 R言語のtidyverseとforecastパッケージに基づいた実装
オンラインリソース	Duke University, Forecasting in STATA https://people.duke.edu/~rnau/411home.htm	時系列予測の基礎から応用までのステップバイステップガイドモデル選択とACF/PACF解釈に関する詳細な解説 STATAによる実装例があり実務家向け
実践的なツール	R言語のforecastパッケージ https://pkg.robjhyndman.com/forecast/	Rob Hyndmanによる包括的な時系列予測パッケージ自動ARIMA、指数平滑法、予測評価など多機能ビジュアライゼーション機能も充実
実践的なツール	Pythonのstatsmodels https://www.statsmodels.org/stable/tsa.html	Pythonユーザー向けの時系列分析ツール ARIMA、VAR、状態空間モデルなど多様なモデルをサポート scikit-learnとの互換性があり機械学習との連携も容易